Формулы производных и их применение
В этом уроке мы рассмотрим формулы производных и их применение на примерах. Мы будем работать с формулами, которые помогают находить производные различных функций, и научимся использовать их для решения задач.
Основные цели урока:
- Познакомиться с основными формулами производных.
- Научиться применять правила дифференцирования для нахождения производных различных функций.
- Решать задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функций, а также точек максимума и минимума.
Ключевые пункты:
- Производная постоянной функции равна нулю.
- Производная степенной функции ( y = x^n ) равна ( y' = n x^{n-1} ).
- Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных.
- Производная произведения функций y = u(x) \cdot v(x) равна ( y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) .
- Производная дроби ( y = \frac{u(x)}{v(x)} ) равна y' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} .
- Производная корня ( y = \sqrt{x} ) равна ( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} ).
- Производная логарифма ( y = \ln(x) ) равна ( y' = \frac{1}{x} ).
- Производная экспоненциальной функции ( y = e^x ) равна ( y' = e^x ).
Примеры Решений:
- Найдите наибольшее значение функции y = x \sqrt{x} на интервале [140, 145].
- Преобразуем функцию: y = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} .
- Возьмем производную: y' = \frac{3}{2} x^{1/2} .
- Приравняем производную к нулю: frac{3}{2} x^{1/2} = 0 .
- Решим уравнение: x = 144 .
- Подставим x = 144 в исходную функцию: y = 144 \cdot \sqrt{144} = 144 \cdot 12 = 1728
- Найдите точку максимума функции y = x^3 + 15x^2 на интервале [-10, 0].
- Возьмем производную: y' = 3x^2 + 30x .
- Приравняем производную к нулю: 3x^2 + 30x = 0
- Решим уравнение: 3x(x + 10) = 0 , x = 0 или x = -10 .
- Исследуем точки методом интервалов: x = -10 — точка максимума, x = 0 — точка минимума.
- Найдите точку минимума функции y = frac{36}{x} - x
- Преобразуем функцию: y =frac{36}{x} - x
- Возьмем производную: y' = -frac{36}{x^2} - 1
- Приравняем производную к нулю: -frac{36}{x^2} - 1 = 0
- Решим уравнение: frac{36}{x^2} = 1 , x^2 = 36, x = 6 или x = -6 .
- Исследуем точки методом интервалов: ( x = -6 ) — точка минимума.
- Найдите наименьшее значение функции ( y = x + \frac{64}{x} + 13) на интервале [0.5, 10]
- Возьмем производную: ( y' = 1 - \frac{64}{x^2} ).
- Приравняем производную к нулю: ( 1 - \frac{64}{x^2} = 0 ).
- Решим уравнение: ( \frac{64}{x^2} = 1), ( x^2 = 64 ), ( x = 8 ) или ( x = -8 ).
- Подставим ( x = 8 ) в исходную функцию: ( y = 8 + \frac{64}{8} + 13 = 8 + 8 + 13 = 29 ).
- Найдите наибольшее значение функции y = (x + 2)^2 (x + 8) - 7 ) на интервале [-10, 10].
- Применим правило дифференцирования для произведения: ( y' = 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 ).
- Приравняем производную к нулю: 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 = 0 .
- Решим уравнение: 2(x + 2)(x + 8) + (x + 2)^2 = 0 , ( (x + 2)(3x + 18) = 0 ), ( x = -2 ) или ( x = -6 ).
- Исследуем точки методом интервалов: ( x = -6 ) — точка максимума.
- Подставим ( x = -6 ) в исходную функцию: y = (-6 + 2)^2 (-6 + 8) - 7 = 16 \cdot 2 - 7 = 32 - 7 = 25 .